Urnes de Polya

Une urne contient deux boules vertes et trois boules noires indiscernables au toucher.

Sibylle tire une boule au hasard de cette urne, puis la remet dans l'urne en y rajoutant \(n\) nouvelles boules de la même couleur que celle qu'elle vient de tirer où  \(n\)  désigne un entier naturel.

Elle tire alors une nouvelle boule de l'urne.

On définit les événements suivants :

• `V_1` : « La première boule tirée est verte  » ;
  
• `V_2` : « La deuxième boule tirée est verte » ;
• \(N_1\) :« La première boule tirée est noire » ;
• \(N_2\) : « La deuxième boule tirée est noire  ».

Dans cet exercice, les probabilités seront données sous forme de fractions irréductibles.

1. Calculer \(P(V_1)\) et  \(P(N_1)\) .

Dans les questions 2, 3, 4 et 5 on se place dans le cas où  \(n=5\) .

2. On suppose dans cette question que Sibylle a tiré une boule verte au premier tirage.

    a. Déterminer la composition de l'urne juste avant le deuxième tirage.

    b. En déduire \(P_{V_1}(V_2)\) .

3. De même, déterminer  \(P_{N_1}(V_2)\) .

4. Construire un arbre pondéré correspondant à cette expérience.

5. a. En utilisant l'arbre, déterminer la probabilité que la deuxième boule tirée soit verte.

    b. Comparer  \(P(V_1)\)  et \(P(V_2)\) .

6. a. Reprendre les questions 2, 3, 4 et 5 dans le cas où \(n=13\) .

    b. Quelle conjecture peut-on émettre ?

    c. Démontrer la conjecture précédente.